LCM और HCF – सम्पूर्ण ट्यूटोरियल (प्रतियोगी परीक्षाओं हेतु)

कम्प्लीट मास्टरक्लास: LCM और HCF

1. परिचय (INTRODUCTION)

परिभाषाएं (Definitions)

HCF (महत्तम समापवर्तक): इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है। दो या दो से अधिक दी गई संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो उनमें से प्रत्येक को पूरी तरह विभाजित करती है (बिना कोई शेषफल छोड़े)।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

प्रतियोगी परीक्षाओं में महत्व (Importance in Exams)

Direct Weightage: SSC, Banking, और Railways के Prelims और Mains में 2–3 प्रश्न लगभग तय होते हैं।
Foundational Tool: तेज़ LCM गणनाओं में महारत हासिल किए बिना आप Time and Work, Pipes and Cisterns, या Speed, Time, and Distance के प्रश्नों को तेज़ी से हल नहीं कर सकते।

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Real-Life Applications)

LCM: यह पता लगाना कि कई घटनाएँ एक साथ फिर से कब होंगी (जैसे- घंटियों का एक साथ बजना, वृत्ताकार ट्रैक पर धावकों का शुरुआती बिंदु पर मिलना, ट्रैफिक लाइट का बदलना)।
HCF: चीजों को समान समूहों में बांटना, मापने वाले टेप की अधिकतम लंबाई ज्ञात करना, या फर्श पर वर्गाकार टाइलें लगाने के लिए न्यूनतम टाइलों की संख्या ज्ञात करना।

2. विस्तृत अवधारणा (CONCEPT THEORY)

HCF निकालने की विधियां

अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method): प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। HCF सभी संख्याओं में मौजूद 'कॉमन' अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों (lowest powers) का गुणनफल होता है।
उदाहरण: 24 और 36 का HCF.
24 = 2³ × 3¹
36 = 2² × 3²
HCF = 2² × 3¹ = 12
भाग विधि (Division Method - बड़ी संख्याओं के लिए उपयोगी): बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। फिर, पिछले भाजक (divisor) को शेषफल (remainder) से भाग दें। यह प्रक्रिया तब तक दोहराएं जब तक शेषफल 0 न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF होता है।

LCM निकालने की विधियां

अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method): प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों (highest powers) का गुणनफल होता है।
उदाहरण: 24 और 36 का LCM.
24 = 2³ × 3¹
36 = 2² × 3²
LCM = 2³ × 3² = 72
सामान्य भाग विधि (Common Division Method): संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें, सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें जो कम से कम दो संख्याओं को काटती हो, जो न कटे उसे वैसा ही नीचे उतार लें। यह तब तक दोहराएं जब तक सभी भागफल 1 न हो जाएं। सभी भाजकों का गुणा कर लें।

महत्वपूर्ण संबंध और सूत्र (Important Formulas)

मूल सूत्र (Core Formula): LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या (ध्यान दें: यह केवल दो संख्याओं के लिए मान्य है)।
सह-अभाज्य संख्याएं (Co-prime Numbers): दो संख्याएं सह-अभाज्य होती हैं यदि उनका HCF 1 हो। उनका LCM हमेशा उनका गुणनफल (product) होता है।
भिन्नों (Fractions) के लिए:
- भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)
- भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)

LCM और HCF के गुण (Properties)

दी गई संख्याओं का HCF हमेशा उनके LCM को पूरी तरह विभाजित करता है।
HCF हमेशा दी गई संख्याओं में सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे छोटा होता है।
LCM हमेशा दी गई संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या के बराबर या उससे बड़ा होता है।

3. प्रश्नों के प्रकार और 4. हल किए गए उदाहरण

यहां 40 बेहद महत्वपूर्ण हल किए गए उदाहरण दिए गए हैं जो SSC, Banking, और Railway परीक्षाओं में पूछे जाने वाले हर पैटर्न को कवर करते हैं।

Type A: बेसिक कैलकुलेशन और भिन्न (Fractions)

Q1. 84, 126, और 140 का HCF ज्ञात करें।

हल देखें

सबसे करीब की संख्याओं के बीच का अंतर निकालें: 140 - 126 = 14. HCF या तो 14 होगा या इसका कोई गुणनखंड। 14 से 84, 126, और 140 पूरी तरह कट जाते हैं।
उत्तर: 14

Q2. 15, 24, 32, और 45 का LCM ज्ञात करें।

हल देखें

सबसे बड़ी संख्या (45) लें। अभाज्य गुणनखंड: 45 = 3² × 5. 32 = 2⁵. 24 = 2³ × 3. 15 = 3 × 5. LCM में सबसे बड़ी घातें होनी चाहिए: 2⁵ × 3² × 5 = 32 × 9 × 5.
उत्तर: 1440

Q3. 2/3, 4/5, और 6/7 का HCF ज्ञात करें।

हल देखें

HCF = (2, 4, 6 का HCF) / (3, 5, 7 का LCM) = 2/105.
उत्तर: 2/105

Q4. 3/4, 6/7, और 9/8 का LCM ज्ञात करें।

हल देखें

LCM = (3, 6, 9 का LCM) / (4, 7, 8 का HCF) = 18/1.
उत्तर: 18

Q5. 1.2, 0.24, और 6 का HCF ज्ञात करें।

हल देखें

100 से गुणा करके पूर्ण संख्याओं में बदलें: 120, 24, 600. (120, 24, 600) का HCF 24 है। फिर से 100 से भाग दें।
उत्तर: 0.24

Q6. 0.6, 9.6, और 0.36 का LCM ज्ञात करें।

हल देखें

100 से गुणा करें: 60, 960, 36. (60, 960, 36) का LCM = 2880. 100 से भाग दें = 28.8.
उत्तर: 28.8

Type B: अनुपात (Ratio) आधारित प्रश्न

Q7. दो संख्याएं 3:4 के अनुपात में हैं। उनका HCF 15 है। संख्याएं ज्ञात करें।

हल देखें

संख्याएं 3 × 15 और 4 × 15 होंगी।
उत्तर: 45 और 60

Q8. दो संख्याओं का अनुपात 4:5 है और उनका LCM 120 है। संख्याएं ज्ञात करें।

हल देखें

माना संख्याएं 4x और 5x हैं। चूंकि वे सह-अभाज्य (co-prime) हैं, LCM = 4 × 5 × x = 20x. 20x = 120 ⇒ x = 6.
उत्तर: 24 और 30

Q9. तीन संख्याएं 2:3:4 के अनुपात में हैं और उनका HCF 12 है। LCM ज्ञात करें।

हल देखें

संख्याएं 2 × 12, 3 × 12, 4 × 12 ⇒ 24, 36, 48 हैं। 24, 36, 48 का LCM = 144.
उत्तर: 144

Q10. दो संख्याओं का योग 528 है और उनका HCF 33 है। ऐसे कितने जोड़े (pairs) संभव हैं?

हल देखें

माना संख्याएं 33a और 33b हैं (जहां a, b सह-अभाज्य हैं)। 33a + 33b = 528 ⇒ a + b = 16. योग 16 वाले सह-अभाज्य जोड़े: (1,15), (3,13), (5,11), (7,9).
उत्तर: 4 जोड़े

Q11. दो संख्याओं का गुणनफल 2028 है और उनका HCF 13 है। जोड़ों की संख्या ज्ञात करें।

हल देखें

माना संख्याएं 13a और 13b हैं। 13a × 13b = 2028 ⇒ 169ab = 2028 ⇒ ab = 12. गुणा 12 वाले सह-अभाज्य जोड़े: (1,12) और (3,4).
उत्तर: 2 जोड़े

Type C: LCM-HCF संबंध (Relationship)

Q12. दो संख्याओं का LCM 2079 है और उनका HCF 27 है। यदि एक संख्या 189 है, तो दूसरी ज्ञात करें।

हल देखें

LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या ⇒ 2079 × 27 = 189 × N2 ⇒ N2 = 297.
उत्तर: 297

Q13. दो संख्याओं का HCF 11 है और उनका LCM 7700 है। यदि एक संख्या 275 और 300 के बीच है, तो संख्याएं ज्ञात करें।

हल देखें

N1 × N2 = 11 × 7700. माना संख्याएं 11a, 11b हैं। 11a × 11b = 11 × 7700 ⇒ ab = 700. सह-अभाज्य जोड़े: a=25, b=28. संख्याएं: 11 × 25 = 275 और 11 × 28 = 308.
उत्तर: 275 और 308

Q14. दो संख्याओं का LCM उनके HCF का 44 गुना है। LCM और HCF का योग 1125 है। यदि एक संख्या 25 है, तो दूसरी ज्ञात करें।

हल देखें

L = 44H. L + H = 1125 ⇒ 45H = 1125 ⇒ H = 25. L = 1100. 25 × 1100 = 25 × N2 ⇒ N2 = 1100.
उत्तर: 1100

Q15. क्या दो संख्याओं का HCF 16 और LCM 380 हो सकता है?

हल देखें

HCF को LCM को पूरी तरह विभाजित करना चाहिए। 380 / 16 = 23.75 (यह एक पूर्णांक नहीं है)।
उत्तर: नहीं

Type D: LCM शेषफल (Remainder) वाले प्रश्न

नियम 1: "वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे x, y, z से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल R बचे।" → फॉर्म: LCM(x,y,z) × k + R

Q16. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 8 शेष बचे।

हल देखें

LCM(12, 15, 20, 54) = 540. संख्या = 540 + 8.
उत्तर: 548

Q17. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर 3 शेष बचे, लेकिन 9 से भाग देने पर कोई शेष न बचे।

हल देखें

LCM(5, 6, 7, 8) = 840. संख्या 840k + 3 के रूप में होगी। k=1 के लिए, 843 (9 से विभाज्य नहीं)। k=2 के लिए, 1683 (9 से विभाज्य है)।
उत्तर: 1683

नियम 2: "वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे x, y, z से भाग देने पर क्रमशः a, b, c शेष बचे।" → यदि (x-a) = (y-b) = (z-c) = K, तो फॉर्म: LCM(x,y,z) - K

Q18. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 20, 25, 35 और 40 से भाग देने पर क्रमशः 14, 19, 29 और 34 शेष बचे।

हल देखें

अंतर देखें: 20-14=6, 25-19=6, आदि। K=6. LCM(20, 25, 35, 40) = 1400. संख्या = 1400 - 6.
उत्तर: 1394

Q19. वह 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 12, 15, 20 और 35 से पूर्णतः विभाज्य हो।

हल देखें

LCM(12, 15, 20, 35) = 420. 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999. 9999 / 420 करने पर शेष 339 बचता है। संख्या = 9999 - 339.
उत्तर: 9660

Q20. वह 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसे 3, 5, 8, 12 से भाग देने पर 2 शेष बचे।

हल देखें

LCM(3, 5, 8, 12) = 120. 99999 / 120 ⇒ शेष 39 है। विभाज्य संख्या = 99999 - 39 = 99960. शेष 2 जोड़ें।
उत्तर: 99962

Type E: HCF शेषफल (Remainder) वाले प्रश्न

नियम 1: "वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे x, y, z को भाग देने पर समान शेषफल R बचे।" → फॉर्म: (x-R, y-R, z-R) का HCF

Q21. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 43, 91 और 183 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेष बचे।

हल देखें

जब शेषफल अज्ञात हो, तो उनके आपसी अंतर का HCF लें: |91-43|, |183-91|, |183-43| = 48, 92, 140. (48, 92, 140) का HCF.
उत्तर: 4

Q22. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 1305, 4665 और 6905 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेष बचे।

हल देखें

अंतर: 4665 - 1305 = 3360; 6905 - 4665 = 2240; 6905 - 1305 = 5600. HCF(3360, 2240, 5600).
उत्तर: 1120

नियम 2: "वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे x, y, z को भाग देने पर क्रमशः a, b, c शेष बचे।" → फॉर्म: (x-a, y-b, z-c) का HCF

Q23. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 29, 60 और 103 को भाग देने पर क्रमशः 5, 12 और 7 शेष बचे।

हल देखें

29 - 5 = 24; 60 - 12 = 48; 103 - 7 = 96. (24, 48, 96) का HCF.
उत्तर: 24

Q24. वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जिससे 99, 123 और 183 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचे?

हल देखें

99 - 3 = 96; 123 - 3 = 120; 183 - 3 = 180. (96, 120, 180) का HCF.
उत्तर: 24

Type F: वास्तविक जीवन के वर्ड प्रॉब्लम (Word Problems)

Q25. छह घंटियाँ एक साथ बजना शुरू होती हैं और क्रमशः 2, 4, 6, 8, 10 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। 30 मिनट में, वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?

हल देखें

LCM(2, 4, 6, 8, 10, 12) = 120 सेकंड = 2 मिनट। वे हर 2 मिनट में एक साथ बजती हैं। 30 मिनट में: (30 / 2) + 1 (शुरुआती 0वें मिनट के लिए) = 16 बार।
उत्तर: 16 बार

Q26. तीन व्यक्ति 11 किमी के वृत्ताकार ट्रैक पर चल रहे हैं। A की गति 4 किमी/घंटा, B की 5.5 किमी/घंटा, C की 8 किमी/घंटा है। वे शुरुआती बिंदु पर कब मिलेंगे?

हल देखें

समय = दूरी / चाल। समय हैं 11/4, 11/5.5, 11/8 घंटे ⇒ 11/4, 2/1, 11/8. भिन्नों का LCM = LCM(11, 2, 11) / HCF(4, 1, 8) = 22 / 1.
उत्तर: 22 घंटे

Q27. 3 ट्रैफिक लाइट क्रमशः 48 सेकंड, 72 सेकंड और 108 सेकंड के बाद बदलती हैं। यदि वे सभी 8:20:00 बजे एक साथ बदलती हैं, तो अगली बार वे एक साथ कब बदलेंगी?

हल देखें

LCM(48, 72, 108) = 432 सेकंड = 7 मिनट 12 सेकंड। समय = 8:20:00 + 7 मिनट 12 सेकंड।
उत्तर: 8:27:12 बजे

Q28. एक माली के पास 44 सेब के पेड़, 66 केले के पेड़ और 110 आम के पेड़ हैं। वह उन्हें पंक्तियों (rows) में इस तरह लगाना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ति में केवल एक प्रकार के पेड़ों की समान संख्या हो। पंक्तियों की न्यूनतम संख्या?

हल देखें

प्रति पंक्ति पेड़ = HCF(44, 66, 110) = 22. कुल पंक्तियाँ = (44/22) + (66/22) + (110/22) = 2 + 3 + 5.
उत्तर: 10 पंक्तियाँ

Q29. एक आयताकार आँगन 3.78 मीटर लंबा और 5.25 मीटर चौड़ा है, जिसे एक ही आकार की वर्गाकार टाइलों से पक्का किया जाना है। टाइल का अधिकतम आकार ज्ञात करें।

हल देखें

सेंटीमीटर में बदलें: 378 सेमी, 525 सेमी। HCF(378, 525).
उत्तर: 21 सेमी

Q30. उपरोक्त प्रश्न (Q29) से, आवश्यक टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करें।

हल देखें

कुल टाइलें = फर्श का क्षेत्रफल / एक टाइल का क्षेत्रफल = (378 × 525) / (21 × 21) = 18 × 25.
उत्तर: 450

Type G: बीजगणित (Algebra & Polynomials)

Q31. a²b⁴c⁶, b³c⁸a⁴, और a⁸b⁶c² का HCF ज्ञात करें।

हल देखें

प्रत्येक चर (variable) की सबसे छोटी घात लें।
उत्तर: a²b³c²

Q32. इन्हीं पदों का LCM ज्ञात करें: a²b⁴c⁶, b³c⁸a⁴, और a⁸b⁶c².

हल देखें

प्रत्येक चर की सबसे बड़ी घात लें।
उत्तर: a⁸b⁶c⁸

Q33. (x² - 4) और (x² + 4x + 4) का HCF ज्ञात करें।

हल देखें

x² - 4 = (x-2)(x+2). x² + 4x + 4 = (x+2)². कॉमन पद: (x+2).
उत्तर: x+2

Q34. (x³ - y³) और (x² - y²) का LCM ज्ञात करें।

हल देखें

(x-y)(x²+xy+y²) और (x-y)(x+y). सबसे बड़ी घातें:
उत्तर: (x-y)(x+y)(x²+xy+y²)

Type H: एडवांस मिश्रित प्रश्न (Advanced Miscellaneous)

Q35. दो संख्याओं का योग 36 है और उनका HCF और LCM क्रमशः 3 और 105 है। दोनों संख्याओं के व्युत्क्रमों (reciprocals) का योग क्या है?

हल देखें

माना संख्याएं a, b हैं। a+b = 36. ab = H × L = 3 × 105 = 315. व्युत्क्रम योग = 1/a + 1/b = (a+b)/ab = 36/315.
उत्तर: 4/35

Q36. वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग (perfect square) ज्ञात करें जो 3, 4, 5, 6, और 8 से पूर्णतः विभाज्य हो।

हल देखें

LCM(3, 4, 5, 6, 8) = 120. 120 के अभाज्य गुणनखंड = 2³ × 3 × 5. इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, 2 × 3 × 5 = 30 से गुणा करें। 120 × 30.
उत्तर: 3600

Q37. दो संख्याओं का HCF और LCM 21 और 4641 हैं। यदि एक संख्या 200 और 300 के बीच है, तो संख्याएं ज्ञात करें।

हल देखें

21a × 21b = 21 × 4641 ⇒ ab = 221. 221 के सह-अभाज्य गुणनखंड 13 और 17 हैं। संख्याएं: 21 × 13 = 273 और 21 × 17 = 357.
उत्तर: 273

Q38. 3⁴⁵ - 1 और 3³⁵ - 1 का HCF ज्ञात करें।

हल देखें

नियम: (A^m - 1) और (Aⁿ - 1) का HCF = A^{(m,n) का HCF} - 1. 45, 35 का HCF = 5.
उत्तर: 3⁵ - 1 = 242

Q39. वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जो 38, 45 और 52 को विभाजित करेगी और क्रमशः 2, 3 और 4 शेष छोड़ेगी?

हल देखें

38 - 2 = 36; 45 - 3 = 42; 52 - 4 = 48. HCF(36, 42, 48).
उत्तर: 6

Q40. दो सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का गुणनफल 117 है। उनका LCM क्या होगा?

हल देखें

सह-अभाज्य संख्याओं के लिए, HCF 1 होता है। इसलिए, LCM = गुणनफल।
उत्तर: 117

5. शॉर्टकट्स और ट्रिक्स (SHORTCUTS & TRICKS)

अंतर ट्रिक (Difference Trick - HCF के लिए): किन्हीं भी दो संख्याओं का HCF कभी भी उनके अंतर (difference) से बड़ा नहीं हो सकता। यह या तो अंतर के बराबर होगा या उस अंतर का कोई गुणनखंड होगा। (उदाहरण: 68 और 85 का HCF. अंतर = 17. 17 दोनों को काटता है। जादू! HCF 17 है।)
सबसे बड़ी संख्या ट्रिक (LCM के लिए): LCM ज्ञात करने के लिए, सबसे बड़ी संख्या लें और जांचें कि क्या अन्य संख्याएं इसे विभाजित करती हैं। यदि नहीं, तो सबसे बड़ी संख्या को 2, 3, 4... से तब तक गुणा करें जब तक कि आपको ऐसा गुणज न मिल जाए जो अन्य संख्याओं से विभाज्य हो। (उदाहरण: 4, 6, 8 का LCM. सबसे बड़ी संख्या 8 है। 6, 8 को विभाजित नहीं करता। 8 × 2 = 16 आज़माएं (नहीं)। 8 × 3 = 24 आज़माएं। 4 और 6, 24 को विभाजित करते हैं। LCM 24 है।)
विभाज्यता नियम बायपास (Divisibility Rule Bypass): "वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 9, 12, 15, 18 से विभाज्य हो" पूछने वाले प्रश्नों के लिए, बस विकल्पों (Options) को देखें! सही विकल्प 9 के विभाज्यता नियम (अंकों का योग 9 का गुणज हो) को संतुष्ट करना चाहिए। इससे गलत विकल्प तुरंत कट जाते हैं।

6. प्रैक्टिस सेट (PRACTICE SET)

इन 30 प्रश्नों को स्वयं हल करने का प्रयास करें। अपना उत्तर जांचने के लिए "उत्तर देखें" पर क्लिक करें!

1. 36 और 84 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 12

2. 12, 18, 24 का LCM ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 72

3. 3/5, 9/10, 15/16 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 3/80

4. 2/3, 4/9, 5/6 का LCM ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 20/3

5. दो संख्याएं 5:6 के अनुपात में हैं। यदि उनका HCF 4 है, तो LCM क्या है?

उत्तर देखें

उत्तर: 120

6. दो संख्याओं का गुणनफल 1280 है और उनका HCF 8 है। उनका LCM ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 160

7. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 122 और 243 को भाग देने पर क्रमशः 2 और 3 शेष बचे।

उत्तर देखें

उत्तर: 120

8. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 12, 15 और 20 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 4 शेष बचे।

उत्तर देखें

उत्तर: 64

9. तीन घंटियाँ 15, 20 और 30 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे सुबह 10:00 बजे एक साथ बजती हैं, तो अगली बार वे एक साथ कब बजेंगी?

उत्तर देखें

उत्तर: 11:00 AM

10. दो संख्याओं का HCF 8 है। इनमें से कौन उनका LCM नहीं हो सकता? (a) 24 (b) 48 (c) 56 (d) 60

उत्तर देखें

उत्तर: 60 (यह 8 से विभाज्य नहीं है)

11. दो संख्याओं का योग 100 है, HCF 5 है। ऐसे कितने जोड़े संभव हैं?

उत्तर देखें

उत्तर: 4 जोड़े

12. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 43, 91, 183 को भाग देने पर समान शेष बचे।

उत्तर देखें

उत्तर: 4

13. 0.54, 1.8, और 7.2 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 0.18

14. दो संख्याओं का LCM 1920 है, HCF 16 है। एक संख्या 128 है, दूसरी ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 240

15. एक संख्या को 10 से भाग देने पर 9, 9 से भाग देने पर 8, 8 से भाग देने पर 7 शेष बचता है। ऐसी सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 359 (10,9,8 का LCM - 1)

16. x³y²z और x²y³z² का HCF ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: x²y²z

17. 15 मी 17 सेमी लंबे और 9 मी 2 सेमी चौड़े फर्श के लिए आवश्यक न्यूनतम वर्गाकार टाइलें ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 814

18. वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात करें जो 21, 36, 66 से विभाज्य हो।

उत्तर देखें

उत्तर: 213444

19. दो संख्याओं के HCF और LCM का योग 680 है, LCM, HCF का 84 गुना है। एक संख्या 56 है, दूसरी ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 96

20. 4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या जो 15, 25, 40, 75 से विभाज्य हो।

उत्तर देखें

उत्तर: 9600

21. दो सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का HCF क्या होगा।

उत्तर देखें

उत्तर: 1

22. दो सह-अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 143 है। उनका LCM ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 143

23. दो संख्याओं का LCM उनके HCF का 12 गुना है। HCF और LCM का योग 403 है। यदि दोनों संख्याएं LCM से छोटी हैं, तो संख्याएं ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 93 और 124

24. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 16, 24, 36, 54 से पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर देखें

उत्तर: 432

25. 4 ट्रैफिक लाइट 30, 45, 60, 120 सेकंड में बदलती हैं। वे दोपहर 1:00 बजे एक साथ बदलीं। अगली बार?

उत्तर देखें

उत्तर: 1:06 PM

26. 2¹⁰⁰ - 1 और 2¹²⁰ - 1 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 2²⁰-1

27. दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है। उनका LCM 84 है। बड़ी संख्या ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 28

28. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 5, 6, 7 से भाग देने पर 3 शेष बचे, लेकिन वह 9 से पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर देखें

उत्तर: 1683

29. दो संख्याओं का HCF 15 और LCM 300 है। क्या यह संभव है?

उत्तर देखें

उत्तर: हाँ (300/15 = 20)

30. 3, 2.7, और 0.09 का LCM ज्ञात करें।

उत्तर देखें

उत्तर: 27

7. परीक्षा की रणनीति (EXAM STRATEGY)

प्रश्नों के प्रकार को जल्दी कैसे पहचानें

कीवर्ड "सबसे बड़ी / अधिकतम / महत्तम": लगभग हमेशा HCF निकालने का संकेत देता है।
कीवर्ड "सबसे छोटी / न्यूनतम / लघुत्तम / एक साथ फिर से": लगभग हमेशा LCM निकालने का संकेत देता है।
वृत्ताकार ट्रैक / घंटियों का बजना / ट्रैफिक लाइट: यह समय अंतरालों का क्लासिक LCM प्रश्न है। गणना करने से पहले हमेशा सुनिश्चित करें कि इकाइयाँ (सेकंड/मिनट/घंटे) समान हों।

समय बचाने के टिप्स (Option Elimination Method)

प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC/Banking) के लिए, यदि संभव हो तो LCM/HCF के प्रश्नों को पारंपरिक तरीके से हल न करें। विभाज्यता नियमों (Divisibility Rules) का उपयोग करें: यदि कोई प्रश्न पूछता है कि "वह संख्या ज्ञात करें जो 12, 15 और 18 से विभाज्य हो", तो विकल्पों को देखें। सही उत्तर 9 से विभाज्य होना ही चाहिए (चूंकि 18 = 9×2)। 9 के नियम (अंकों का योग 9 से विभाज्य) का उपयोग करके 2 सेकंड में गलत विकल्पों को हटा दें (Eliminate करें)।

सामान्य गलतियाँ जिनसे बचना चाहिए

शेषफल जोड़ना/घटाना भूल जाना: LCM शेषफल समस्याओं में, याद रखें कि कब जोड़ना है या कब घटाना है। यदि "समान शेषफल" है, तो जोड़ें (ADD)। यदि "अलग-अलग शेषफल" हैं, तो स्थिर अंतर (K) ज्ञात करें और घटाएं (SUBTRACT)।
भिन्न के सूत्रों में भ्रम: याद रखें, आपसे जो भी निकालने के लिए कहा जाए (भिन्न का LCM या HCF), वह अंश (numerator) के साथ करें। हर (denominator) के साथ इसके विपरीत करें।
इकाइयों को नज़रअंदाज़ करना: वर्ड प्रॉब्लम्स में, गति किमी/घंटा में हो सकती है लेकिन लंबाई मीटर में। LCM निकालने से पहले हमेशा इकाइयों (Units) को समान करें।

SarkariWatch

Ads Area